如果单调递增的数列的奇数项子列收敛,则该数列收敛吗

如果单调递增的数列的奇数项子列收敛,则该数列收敛吗

问题描述:

如果单调递增的数列的奇数项子列收敛,则该数列收敛吗



最佳答案:

参考答案一

   设数列为an.因为an增,则a(2k-1)≤an﹙2k﹚≤an﹙2k+1﹚[括号内为角标].不妨设奇数子列收敛于A,即任意ε﹥0,存在正整数N1,k>N1时,有A-ε<a(2k-1﹚<A+ε. 存在正整数N2,K>N2时,有A-ε<a(2k+1﹚<A+ε。取N=max﹛N1,N2﹜则k>N时,有A-ε<a(2k-1﹚<a(2k+1﹚<A+ε。进一步A-ε<a(2k-1﹚<a﹙2k﹚<a(2k+1﹚<A+ε。即偶数子列也收敛于A。竟然一个数列的奇数、偶数子列都收敛于A,那么an就收敛于A。

参考答案二

   证明:

   假设数列an收敛于实数A和实数B,其中A≠B,不妨假设A0,使得对于任意的n≥N,总有 |an-A|

   取e=(B-A)/2,那么对于任意的n≥N,必有|an-A|<(B-A)/2即A-(B-A)/2 即(3A-B)/2 

   因此 (3A-B)/2-B 即 3(A-B)/2 由于A 因此an-B<(A-B)/2<0对于任意的n≥N成立。

   即|an-B|>|A-B|/2对于任意的n≥N成立。因此存在一个e'=|A-B|/2>0,使得对于任意的N'>0,总会有更大的N''>N且N>N',使得对于任意的n≥N'',总是不满足|an-B|

   根据数列极限的e-N定义法,数列an不收敛于B。

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