已知圆A：x2+y2+2x-15=0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线y=k（x-1）与曲线C相交于P，Q两点，

问题描述：

已知圆A：x²+y²+2x-15=0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线y=k（x-1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP=∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

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最佳答案：

（Ⅰ）圆A：（x+1）2+y2=16，圆心A（-1，0），由已知得|NM|=|NB|，又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4>|AB|=2，所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其标准方程C：

x2

a2

+

y 2

b2

=1，则2a=4，2c=2，
所以a2=4，b2=3，所以曲线C：

x2

4

+

y 2

3

=1．
（Ⅱ）设存在点R（t，0）满足题设，联立直线y=k（x-1）与椭圆方程

x2

4

+

y 2

3

=1消y得
（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则由韦达定理得x1+x2=

8k2

4k2+3

①，x1x2=

4k2-12

4k2+3

②，
由题设知OR平分∠PRQ⇔直线RP与直RQ的倾斜角互补，即直线RP与直线RQ的斜率之和为零，
即

y1

x1-t

+

y2

x2-t

=0，即x1y2+x2y1-t（y1+y2）=0，
即2kx1x2-（1+t）k（x1+x2）+2tk=0③，
把①、②代入③并化简得

(t-4)k

4k2+3

=0，即（t-4）k=0④，
所以当k变化时④成立，只要t=4即可，
所以存在定点R（4，0）满足题设．