一转动装置如图甲所示，两根足够长轻杆OA、OB固定在竖直轻质转轴上的O点，两轻杆与转轴间夹角均为30°，小球a、b分别套在两杆上，小环c套在转轴上，球与环质量均为m，c与a、b间均用长为

问题描述：

一转动装置如图甲所示，两根足够长轻杆OA、OB固定在竖直轻质转轴上的O点，两轻杆与转轴间夹角均为30°，小球a、b分别套在两杆上，小环c套在转轴上，球与环质量均为m，c与a、b间均用长为L的细线相连，原长为L的轻质弹簧套在转轴上，且与轴上P点、环c相连．当装置以某一转速转动时，弹簧伸长到

3

2

L，环c静止在O处，此时弹簧弹力等于环的重力，球、环间的细线刚好拉直而无张力．弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g．求：

（1）细线刚好拉直而无张力时，装置转动的角速度ω₁；
（2）如图乙所示，该装置以角速度ω² （未知）匀速转动时，弹簧长为

L

2

，求此时杆对小球的弹力大小；
（3）该装置转动的角速度由ω₁缓慢变化到ω₂，求该过程外界对转动装置做的功．

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最佳答案：

（1）小球做匀速圆周运动，由向心力公式有：
  mgtan60°=mω12Lsin30°
解得：角速度ω1=

2 3 g L

（2）对环c．由竖起方向力平衡得：2F线cos60°=mg+F弹；
由题，弹簧拉伸和压缩的形变量相同，则F弹=mg
对球a：竖直方向有 FNsin30°=mg+2F线sin30°
解得，弹力 FN=4mg
（3）球a做匀速圆周运动，根据向心力公式有：
  FNcos30°+F线cos30°=mω22Lcos30°
a球的线速度 v2=ω2Lcos30°
整个过程弹簧弹性势能的变化量为零，弹簧弹力做的功为零，对系统，由功能关系得：
   W=△Ep+△Ek=mg（

3L

2

-

L

2

）+2mg（

3L

2

-

3 L

2

）+2×

1

2

m[（ω2Lcos30°）2-（ω1

L

2

）2]=

17-3 3

2

mgL
答：
（1）细线刚好拉直而无张力时，装置转动的角速度ω1是

2 3 g L

．
（2）此时杆对小球的弹力大小是4mg；
（3）该装置转动的角速度由ω1缓慢变化到ω2，该过程外界对转动装置做的功是

17-3 3

2

mgL．