已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，则kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试写出双曲

问题描述：

已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，则k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．试写出双曲线

x2

a2

−

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）具有的类似的性质，并加以证明．

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最佳答案：

双曲线的类似的性质为：若M，N是双曲线

x2

a2

−

y2

b2

=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．
下面给出证明：
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），且

m2

a2

−

n2

b2

＝1．
又设点P的坐标为（x，y），由kPM=

y−n

x−m

，kPN=

y+n

x+m

得kPM•kPN=

y−n

x−m

•

y+n

x+m

=

y2−n2

x2−m2

，①
将y2=

b2

a2

x2-b2，n2=

b2

a2

m2-b2代入①式，得kPM•kPN=

b2

a2

（定值）．