问题描述：
| （本小题满分14分） 一种计算装置，有一数据入口点A和一个运算出口点B ，按照某种运算程序： ①当从A口输入自然数1时，从B口得到  ，记为 ；②  当从A口输入自然数 时，在B口得到的结果 是前一个结果 的 倍；试问：当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想 的关系式，并证明你的结论。 |
最佳答案：  ，证明见解析。 |
| 由已知得  当  时， ，同理可得  ---------------------4分猜想 -------------------6分下面用数学归纳法证明  成立①当  时，由上面的计算结果知 成立 ------8分②假设  时， 成立，即 ，那么当  时， 即   当 时， 也成立 ---------------13分综合①②所述，对  ， 成立。-----14分 |
